您好,欢迎来到启道教育!

当前位置:首页 > 考研数学 > 数学大纲 >

2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析(完整精准版)

来源:启道考研   日期:2018-03-04 11:33:52    点击量:

 
启道考研网考研数学真题资料栏目专注提供历年考研数学真题试题及考试资料、考研数学答案及解析,考研英语真题资料及考研政治真题资料等,关注启道考研网对应专题栏目。
选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每题给出四个选项中,只有一个选项
符合题目要求的,请将所选项的字母填在答题纸指定位置上。    
(1)下列曲线中有渐近线的是        
(A) y = x + sin  x . (B)   y = x 2  + sin  x . (C)   y = x + sin 1 .(D)  
x  
             
y = x2  + sin 1 .          
           
  x          
 
            x + sin 1                  
【解析】 a = lim   f ( x) = lim x = lim(1 + 1 sin 1 ) = 1  
         
                   
x ®¥ x   x ®¥   x       x®¥ x   x  
b = lim[ f ( x ) - ax ] = lim[ x + sin 1 - x] = lim sin 1 = 0    
       
x ®¥   x ®¥   x       x ®¥   x        
y=x  y=x+ sin 1 的斜渐近线                      
x                      
                                   
 
【答案】C
 
(2)设函数 f ( ) ( ) = f ( )( ) ( )    
x 具有 2 阶导数, g  x 0 1 - x + f  1  x ,则在区间[0,1]上(  
(A)当 f(¢x)³ 0 时, f (x ) ³ g (x ).     (B)当 f(¢x)³ 0 时, f (x ) £ g (x )    
(C)当 f(¢x)³ 0 时, f (x ) ³ g (x ).     (D)当 f ¢ ³ 0 时, f (x ) £ g (x )    
【解析】当 f ² (x ) ³ 0 时, f (x ) 是凹函数          
 
g (x ) 是连接 (0, f (0)) 与(1, f (1))的直线段,如右图
 
f (x ) £ g (x )
 
【答案】D                        
(3)设 f (xy )是连续函数,则 ∫ 1 dy 1- y     f ( x , y) =  
      2  
    0     - 1- y      
           
(A)  1 dx  x -1  f ( x , y ) dy + 0  dx  1-x2 f ( x , y )dy .  
0 1 - 1 0                  
(B)  1 dx  1- x f ( x , y ) dy +∫ 0  dx 0         f ( x , y )dy .  
1-x 2  
0 0 -1 -            

 
  p 1   f ( r cos q , r sin q ) dr +∫pp dq ∫1          
(C) ∫ 2  dq ∫       f ( r cos q , r sin q ) dr.    
cos q +sinq    
0   0     0          
                2            
  p 1   f ( r cos q , r sin q ) rdr +∫pp dq ∫1        
(D) ∫ 2  dq ∫   f ( r cos q , r sin q ) rdr.    
cos q +sin q    
0   0     2   0        
                           
【解析】积分区域如图              
0≤y≤1.                        
                   
- 1 - y 2   £ x £ 1 - y              
用极坐标表示,即:D1:   p £ q £ p , 0 £ r £ 1          
      2              
          D2:  0 £ q £ p , 0 £ r £     1      
          cos q + sin q    
      2      
【答案】D                        
(  4   )  若  ∫-pp ( x - a1 cos x - b1 sin x ) 2 dx = min {∫-pp ( x - a cos x - b sin x )2 dx ,  则  
                  a ,bÎR   }    

   a1 cos x + b1 sin x =
 
(A) 2p sin x . (B)  2 cos x .     (C)  2p sin x .  
【解析】令 Z ( a , b ) = ∫ p-p ( x - a cos x - b sin x )2 dx  
    p ( x - a cos x - b sin x )( - cos x ) dx = 0 (1)  
Z a¢ = 2 ∫ -p  
  = 2     ( x - a cos x - b sin x )( - sin x ) dx = 0    
Z ¢ p (2)  
b   -p                  
          p   2 xdx = 0 a = 0, a1  
由(1)得     2 a ∫ 0 cos    
由(2)得     b = ∫ p0  x sin xdx = 2 b  = 2  
       
              ∫ p0 sin 2  xdx 1  
                 

 
  1. 2p cos x .
 
  1. 0
    【答案】A
     
        0 a b 0                        
    (5)行列式 a 0 0 b =                    
        0 c d 0                        
        c 0 0 d                      
    (A)ad-bc2       (B)-ad-bc2   (C)a2d2-b2c2.   (D)b2  c2-a2  d2  
      0 a b 0       a b 0   0 a b    
                 
                 
      a 0 0 b            
    【解析】 按第4行展开c ( -1) 4+1 0 0 b + d ( -1) 4+4 a 0 0    
      0 c d 0       c d 0   0 c d    
               
        c 0 0 d            
                               
                                       

= - c × b ( -1) 3 + 2   a   b  + d × a × ( -1)2 +1  a   b
c   d c   d
 
  1. ( ad - bc ) × bc - ad ( ad - bc)
     
  2. ( ad - bc )(bc - ad ) = - ( ad - bc)2
    【答案】B                
    (6)  设a1 ,a2 ,a3 均为 3 维向量,则对任意常数 k , l,向量组a 1  + ka 3a 2 + la3 线性无  
    关是向量组a1 a2 ,a3 线性无关的()        
    (A)必要非充分条件.   (B)充分非必要条件.    
    (C)充分必要条件.   (D)既非充分也非必要条件.    
            1 0    
              1      
    【解析】由 (a 1 + ka 3, a 2 + la 3) = (a 1, a 2, a 3)  0 知,    
              l      
            k      
    a 1, a 2 , a 3 线性无关时,因为 1 0 ¹ 0        
        0 1          
    所以a 1 + ka 3,a 2 + la 3 线性无关            
    反之不成立 如当a3  = 0 ,  a1 与a 2 线性无关时,a 1, a 2 , a 3 线性相关    
    【答案】A                
    (7)设随机事件 A 与 B 相互独立,且 P(B)=0.5,P(A-B)=0.3,则 P(B-A)=(  
    (A)0.1 (B)0.2     (C)0.3 (D)0.4  
     
    【解析】P(A-B)=P(A)-P(AB)
     
    ∵A 与 B 相互独立
     
    ∴P(AB)=P(A)P(B)
     
    ∴P(A-B)= P(A)- P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)]=0.3
     
    P(A)(1-0.5)=0.3
     
    ∴P(A)=0.6 P(AB)=P(A)P(B)=0.6×05=0.3
     
    ∴P(B-A)=P(B)-P(BA)=0.5-0.3=0.2
     
    【答案】B
     
    (8)设连续性随机变量 X1 与 X2 相互独立,且方差均存在,X1 与 X2 的概率密度分别为 (fx)1 
    f 2 (x) ,随机变量 Y1 的概率密度为 f Y 1 ( y ) = 1 [ f1 ( y ) + f 2 ( y)] ,随机变量 Y2=  
    2  
                                   
      1 ( X 1  + X 2 ) .则(                            
    2                        
                                   
    (A)EY1>EY2,DY1>DY2         (B)EY1=EY2,DY1=DY2  
    (C)EY1=EY2,DY12         (D)EY1= EY2,DY1>DY2  
    【解析】 EY1  = ∫¥ y[ 1 f1 ( y) + 1 f 2 ( y)]dy = 1 yf1 ( y)dy + 1 yf 2 ( y)dy  
             
    2   2   2   2  
 
  = 1 EX 1 + 1 EX 2    
         
2 2  
EY  = E[ 1 ( X     + X   )] =   1 EX   +   1   EX                                                                      
    1 2   1     2                                                                    
2 2       2     2      
         
 EY1  = EY2  
2 1 1 1 1  
EY 2 =           y           f ( y) +       f   ( y) dy =       EX 2 +     EX 2                                                  
                          2                                                          
1 ∫-¥   1 2     2 1 2 2  
  2        
1 1 1 1 2 1 1 1 1 1  
DY1    =         EX 12  +             EX 22  -         EX 1 +       EX 2 =       EX 12  +       EX 22  -       ( EX 1 ) 2  -     ( EX 2 )2  -   EX 1 EX 2  
  2 2     2 2   2   2   4   4 2  
                     
= 1   DX  + 1   DX  + 1 EX 2 + 1     EX 2 - 1 EX EX                                                                  
        1             2                                                            
4 1 4 2 4     4 2 2 1    
           
1 1 1 2 2 1 1 1 2  
      DX   1 +       DX 2 +       EX 1   + EX 2   - 2 E ( X 1 X 2 ) =   DX 1 +   DX 2 +   E ( X 1 - X 2 )            
= 4   4 4       4   4          
      4    
1 1 1  
        DY  2 = D             ( X 1  + X 2 )   =         DX 1 +       DX 2                                                      
        2   4   4                                                        
         
 
 DY 1> DY 2
 
【答案】D
 
二、填空题:9~14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上。
     (         )                      
(9)曲面 z = x21 - sin  y)+ y 2   1 - sin x   在点(1,0,1)处的切平面方程为 .  
          = [2x (1 - sin y ) - y 2 cos x]                  
【解析】在点(1,0,1)处, zx           = 2      
             
      (1, 0,1)         (1, 0,1)        
      zy   (1, 0,1) = [- x 2 cos y + 2 y (1 - sin x)]   (1, 0,1) = -1    
             
                         
切平面方程为 z x ( x -1) + z y ( y - 0) + (-1)(z -1) = 0              
即 2x - y - z -1 = 0                                  
(10 )设 f (x ) 是周期为 4 的可导奇函数,且 f(¢x)= (2x -1), x Î[0, 2], 则f (7) =-  
.                                  
                             
【解析】∵ f ( x) 是周期为 4 的可导函数                          
 f (7) = f (3) = f (-1) = - f (1) f (0) = 0                        
f ¢( x ) = 2( x - 1)     \ f ( x ) = x 2  - 2x + c   f (0) = 0代入得C = 0              

 
 f ( x) = x 2  - 2x x Î[0,2]
 
 f (1) = - 1 从而f (7) = - f (1) = 1
 
(11)微分方程 xy t  + y (ln x - ln y ) =0 满足条件 y(1)=e3 的解为 y=__________.
 
【解析】 xy¢ + y(ln x - ln y) = 0 xy¢ + y ln x = 0 两边同除 x 得  
   
    y  
   y¢ + y ln x = 0
  1. y
  1. u y , 则 y = xu , dy = u + x du  代入上式得
       x                     dx dx  
u + x du + u ln 1 = 0整理得    
         
      dx           u        
    du   = 1 dx   两端积分得    
u(ln u -1)        
      x        
  du       = 1 dx + ln C    
                   
    u (ln u -1) x    
d (ln u -1) = ∫ 1 dx + ln C    
       
    ln u -1               x        
 
ln u - 1 = cx
 
u = ecx +1 y = xecx+1
   将y (1) = e 3代入上式得C = 2
 
\ y = xe2 x+1
 
(12)设 L 是柱面 x 2 + y 2 = 1与平面 y + z = 0 的交线,从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向,则曲面积分[ ∫]zdx + ydz =___________.
 
  x = cos t        
        t : [0,2p]    
【解析】令  y = sin t    
               
  z = -sin t        
∴ ∫ zdx + ydz = ∫2[p- sin t (-sin t ) + sin t (-cost )]dt  
L 0            
  = ∫ 2p 1 - cos 2t dt + ∫ 2p  
        (-sin t )d sin t  
      2  
  0   0  
 
= p + 0 = p

(13)设二次型 f (x1 , x2 , x3 ) = x 21 - x 2  + 2ax1 x3  + 4x2 x3 的负惯性指数是 1,则 a 的取值范围
 
2_________.
 
1 0 a  
  -1 2    
【解析】 A =  0    
  2 0    
a    
因为 l 1 + l 2 + l 3 = 0, l 1 + l 2 + l3 =| A |,  负惯性指数为 1  
 
∴设 l1 < 0, 从而 l 2 l3 ³ 0
 
\| A |£ 0
 
若| A |< 0 ,则 l 1 < 0, l 2  > 0, l3 > 0. 此时符合题意而 A = a2  - 4
 
\ a2  - 4 < 0. 即-2<a<2.
 
若 A = 0 ,则 l 1 < 0, l 2 > 0, l3 = 0, 此时 a = ±2
 
  1 0 2         l -1 0 2    
             
a = 2 时     -1       l E - A   =   l + 1 -2 l ( l + 3)( l - 3)  
           
A = 0 2       0  
                         
    2 2 0           -2 -2 l    
           
 
l 1 = -3, l 2  = 3, l3 = 0
 
\ a = 2 符合题意                          
    1 0 -2         l -1 0 2    
             
      -1       l E - A   =   l + 1 - 2 l ( l + 3)( l - 3)  
             
a=-2 时 A = 0 2       0  
                         
    -2 2 0           2 -2 l    
           
 
l 1 = -3, l 2  = 3, l3 = 0 符合题意        
综上,a 的取值范围是 - 2 £ a £ 2        
  2 x    
          , q < x < 2q ,其中q 是未知数,X1,X2,…,Xπ  
         
(14)设总体 X 的概率密度为 f(x,  q )=     3q 2  
    其他    
  0,    
   n
   为来自总体 X 的简单样本,若 c ∑ x2  是q 的无偏估计,则 c=_________.
 
                  i =1                              
【解析】 E ( X 2 ) =   2q   2 × 2 x dq = 2     2q 3 dx = 1 × 2     4   2q  
               
    q x           q x       x     q  
    3q 2 3q 2  ∫ 4 3q 2  
                                   

 
= 1   × 15q 4 = 5 q 2 .          
6q 2            
    2            
    n       n 5   2    
E (C ∑ X i2 ) = C ∑E ( X i2 ) = C × n × q 2C = .  
2    
    i =1     i =1   5n  
 
三、解答题:1523 小题,共 94 分,请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、证明过程成消算步骤.
 
(15)(本题满分 10 分)
 
1  
                      x [t 2 (e t   -1) - t ]dt                                                          
求极限 lim     1                                                                                                
                                1                                                              
            x®+¥           x 2  ln(1 + )                                                                    
                                                                                                 
                                                                                                       
x  
1 1   1    
                      x [t 2 (e t   -1) - t ]dt               x [t 2 (e t   -1) - t ]dt                    
                                    x              
【解】 lim     1                                                   = lim 1             ×                
                                                                                             
            x®+¥           x 2  ln(1 + 1 )                 x®+¥             x ln(1 + 1 )              
                                                                             
                                                                                           
x x  
  x 1  
  2    
                t -1) - t                                         1                                        
            [t  (e ]dt                                                            
                                                                               
= lim 1                                                 = lim [ x 2 (e x -1) - x]                        
                                                                             
x®+¥ x x®+¥  
1 1 t -1 - t t -1   1    
= lim x 2   (e   -1 -     ) = lim e   = lim e =                        
x                          
                                                 
  x®+¥                             x       t ®0           t 2       t ®0   2t2                        
(16)(本题满分 10 分)                                                                              
设函数 y = f ( x) 由方程 y 3  + xy 2  + x 2 y + 6 = 0 确定,求 f ( x) 的极值。  
【解】由 y 3     + xy 2     + x 2 y + 6 = 0 得                                              
3 y 2 dy + y 2  + 2 xy   dy   + 2 xy + x2 dy = 0 ,解得                        
                                 
      dx                           dx                                   dx                       x = 1            
  dy               2xy + y 2                                 dy                                          
  = -                                     = 0 得 y = -2x ,代入原式得            
                    ,由  
        2  + 2xy + 3 y 2        
  dx           x                           dx                       y = -2            
2               (2 y + 2x dy + 2 y dy )( x 2  + 2 xy + 3 y 2 ) - (2 xy + y 2 )(2x + 2 y + 2x dy + 6 y dy )  
y                
  d                             dx                     dx                                                 dxdx  
    = -                                                                                                      
  dx 2                                                                             ( x 2  + 2xy + 3 y 2 ) 2                        
  x = 1                 d 2 y = 4   > 0 ,故 x = 1为最小点,最小值为 y = -2 。  
        代入得                              
                                     
  y = -2               dx 2         9                                                                    
(17)(本题满分 10 分)                                                                              
设函数 f (u) 二阶连续可导, z = f (e x cos y) 满足                        

    2 z + 2 z = (4z + e x  cos y)e 2 x ,                        
    x 2 y 2                                                    
f (0) = 0, f ¢(0) = 0 ,求 f (u) 的表达式。                    
【解】                                                        
z  = e x  cos y × f ¢ , z     = -e x  sin y × f ¢ ,                        
y                            
x                                                            
2 z = e x  cos y × f ¢ + e 2 x  cos 2 y × f ¢¢ , 2 z = -e x cos y × f ¢ + e 2 x  sin 2  y × f ¢¢ ,  
x 2                                   y 2                        
2 z + 2 z  = e 2 x  f ¢¢                                                 
x 2   y 2                                                        
u = e x  cos y ,由 2 z 2 z  = (4z + e x  cos y)e 2 x 得                  
            x 2 y 2                                        
f ¢¢(u) = 4 f (u) + u ,或 f ¢¢(u) - 4 f (u) = u                    
解得 f (u) = C e -2u  + C     e 2u  - 1 u                              
2                                  
        1         4                                    
                                                           
                    C  + C   = 0           1       1    
f (0) = 0, f ¢(0)         1       2         ,解得 C  = -     =    
= 0 得               1     , C        
                         
                    - 2C1  + 2C2 - = 0   1 16   2   16    
                               
                                  4                        
f (u) = - 1 (e -2u  - e 2u ) - 1 u                              
                                 
    16           4                                      
(18)(本题满分 10 分)                                        
设 S 为曲面 z = x 2  + y 2 ( z £ 1) 的上侧,计算曲面积分                  
  I  = ∫∫( x -1) 3 dydz + ( y -1) 3 dzdx + ( z -1)dxdy                  
    S                                                        
【解】令 S0  : z = 1 ( x 2 + y 2 £ 1 ),取下侧,其中 S 与 S0 围成的几何体为 W ,  
由高斯公式得                                                    
∫∫( x -1)3 dydz + ( y -1)3 dzdx + ( z -1)dxdy = -∫∫∫[3( x -1) 2   + 3( y -1) 2 + 1]dv  
S+S0                                           W                  
= -∫∫∫[3( x 2 + y 2 ) - 6x - 6 y + 7]dv = -∫∫∫[3( x 2 + y 2 ) + 7]dv            
  W                               W                        
= -1   + y 2 ) + 7]dv = -∫1 dz 2p dq    (3r 3  + 7r )dr            
dz   ∫∫[3( x 2 z            
  0                             0   0 0                      
   x 2 + y 2 £z
 

   = -2p 1 ( 3 z 2  + 7 z)dz = -2p ( 1 + 7 ) = -4p ,      
4            
0 2 4   4        
                       
而 ∫∫( x -1) 3 dydz + ( y -1)3 dzdx + ( z -1)dxdy = ∫∫( z -1)dxdy = 0 ,  
S0                 S0      
I  = ∫∫( x -1) 3 dydz + ( y -1)3 dzdx + ( z -1)dxdy = -4p 。    
S                        
(19)(本题满分 10 分)设数列{an } 、{bn } 满足 0 < an p ,0 < bn p ,  
                    2 2  
        ¥              
cos an  - an = cos bn ,且级数 ∑bn   收敛。      
   n =1
 
(I)证明: lim an   = 0 。
   n®¥
 
(II)证明: ∑¥ an   收敛。
 
n =1 bn
 
【证明】
 
(I)方法一
 
¥      
 ∑bn 收敛得 lim bn = 0 。  
n =1 n®¥    
     
 
令 lim an   = a ,等式 cos an  - an   = cos bn 两边取极限得 cos a - a = 1 。
   n®¥
 
jx) = 1 - cos x + x ,j(0) = 0 ,
 
因为j¢( x) = sin x + 1 ³ 0 ,所以jx) 单调增加,由jx) = 0 得 x = 0 ,
 
故 lim an = a = 0 。                                  
    n®¥                                              
方法二                                              
由 cos an - an   = cos bn 得 an = cos an  - cos bn   > 0 ,从而 0 < an  < bn ,  
        ¥             ¥   收敛,故 lim an   = 0 。            
因为 ∑bn  收敛,所以 an            
      n =1             n =1   n®¥                    
                                               
(II)由 an = cos an  - cos bn 得                    
              - cos b   2 sin( an  + bn ) sin( an - bn )       b 2 - a 2  
  a n     cos a n          
    =           n = -   2       2       ~ n n  
                                           
  bn         bn             bn             2bn  
            2   2   bn ¥ ¥   2 2            
因为 0 £ bn - an £ 且 ∑bn  收敛,所以 ∑ bn - an   收敛,  
2bn                
            2 n =1     n =1 2bn            

 
          ¥   an                                            
由比较审敛法得 ∑ 收敛。                                    
                                     
          n =1  bn                                          
(20)(本题满分 11 分)                                          
  1 - 2     3     - 4                                      
            -11                                        
A =  0   1     E 为三阶单位矩阵。                  
      2       0                                              
  1             - 3                                      
(I)求方程组 AX  = O 的一个基础解系。                    
(II)求满足 AB = E 的所有矩阵 B 。                          
【解】                                                              
    1   - 23- 4 1   - 23- 4   1   - 23- 4  
(I) A =                                             ®            
01-1    1 ®  01-1    1 01 -11  
                    0 -     04- 3    1         1 - 3    
    12       3       00    
  1   - 2   05 1   0   01                  
®           -                                            
010     2   ® 0   1   0   - 2  ,                  
            -       0   0   1   -                      
  001     3   3                  
则方程组 AX  = O 的一个基础解系为x = ( -1, 2, 3,1)T  。            
        x       x     x                                        
          1         2   3                                      
(II)令 B = x 4       x 5 x 6                                  
                                               
      x7       x8 x9                                      
                                                                 
      x10       x11x12                                    
  1   - 23- 4   x   x     x                      
      1   2       3                    
                                  x5   x6                    
AB =  01     -11x4                    
                          x     x     x                      
    2     0     - 3                                  
                                               
  1             7   8       9                  
                                                       
                              x11                          
                        x10   x12                  
x  - 2 x + 3x 7 - 4x     x   - 2 x + 3x - 4x x - 2x + 3x - 4x      
  1 4             10     2     5       8 11 3     6 9 12      
= x4  - x7  + x10               x5  - x8 + x11     x6  - x9  + x12    
  x1  + 2x4  - 3x10           x2  + 2x5  - 3x11     x3  + 2x6  - 3x12      
                     
 
AB = E 得

 
x1 x4 x1

 
- 2 x   + 3x   - 4x   = 1 x   - 2 x   + 3x   - 4x   = 0 x   - 2x   + 3x   - 4x   = 0  
  4   7 10   2   5   8 11   3   6   9   12  
- x7  + x10  = 0 x5 - x8  + x11  = 1 x6 - x9  + x12  = 0  
+ 2x4 - 3x10  = 0     + 2x5  - 3x11  = 0     + 2 x6 - 3x12  = 1    
x2 x3    

   1   - 23 - 4 1 1   - 23- 4    1  
                    -1      
由  0 1 -110 ®  0 1 1 0  
  1 2 0 - 3 0     0 4 - 3 1    
      -1  
   

 
1   - 23- 4    1 1   - 2   05   4 1   0   01 2  
      -11                       - 2    
®  01       0 ®  010   - 2 -1 ®  0   1   0 -1  得  
  00     1- 3 -               0   0   1 - 3    
      1 001   - 3 -1   -1  
x1     -1 22 - k1                  
                                     
x4   2 -1 2k1  -1                
x7 = k1 3   + -1  =  3k1  -1              
                                     
      1     0     k1                  
x10                            
1   - 23- 4   0   1   - 23- 4   0          
                                         
由  0    1   -111 ®  01-1    1    1          
      0- 3   0                        
12       04- 3    1     0          
1   - 23- 4    0 1   0   01 6          
      -11               -            
®  01       1 ®  0   1   0   - 2 3  得        
  00     1- 3 -     0 0   1   - 3 -            
      4   4          
x2     -1 66 - k 2                
            -                            
x5   2 3   2k 2  - 3              
  = k 2     + -   =                    
x8     3   4     3k 2  - 4                
      1     0       k 2                  
x11                              
1   - 23- 4   0   1   - 23- 4   0          
                                         
由  0    1   -110 ®  01-1    1     0          
      0- 3   1                        
12       04- 3    1    1          
1   - 23- 4   0 1   0   01-1            
                                       
®  01   -110   ®  0   1   0   - 21   得          
  00                                    
      1- 3   1 0   0   1   - 31              

 
x 3 x6 = x9 x12
 
    -1   -1 -1 - k3      
                       
  2 1 2k3  + 1    
k 3 3   + 1   = 3k3  + 1    
                 
    1     0     k3      
                 

 
2 - k1 6 - k 2  
           
2k1  -1   2k 2  - 3  
B = 3k  -1 3k   - 4  
     
1   2    
  k1   k 2  
     

 
-1 - k      
  3      
2k3 +1   (其中 k1 , k 2 , k3 为任意常数)。  
3k3 + 1    
     
k3      
     
 
1   1   ⋯ 1   0 ⋯ 0 1    
                       
1   1   ⋯ 1 0 ⋯ 0 2 相似。  
(21)(本题满分 11 分)证明 n 阶矩阵 ⋮ ⋮   ⋮  ⋮    
           
               
          0 ⋯ 0        
1   1 1   n    
   【证明】                    
1   1   ⋯ 1   0 ⋯ 0 1    
                       
1   1   ⋯ 1 0 ⋯ 0 2    
A = ⋮ ⋮   B = ⋮  ⋮    
           
               
          0 ⋯ 0        
1   1 1   n    
  1. | lE - A |= 0 得 A 的特征值为 l1  = ⋯= ln-1  = 0, ln   = n ,
 
  1. | lE - B |= 0 得 B 的特征值为 l1  = ⋯= ln-1  = 0, ln   = n 。
 
因为 AT   = A ,所以 A 可对角化;
 
B ,因为 r (0E - B) = r (B) = 1,所以 B 可对角化,因为 AB 特征值相同且都可对角化,所以 A ~ B 。
   (22)(本题满分 11 分)设随机变量 X 的概率分布为 P{X  = 1} = P{X  = 2} = 1 ,
   2
 
在给定 X  = i 的条件下,随机变量Y 服从均匀分布U (0, i)(i = 1,2) 。
 
(I)求Y 得分布函数 FY  ( y) 。
 
(II)求 EY 。
 
【解】
 
(I) FY  ( y) = P{Y  £ y} = P{X  = 1}P{Y £ y | X  = 1} + P{X  = 2}P{Y £ y | X  = 2}
 
1 P{Y £ y | X  = 1} + 1 P{Y  £ y | X  = 2} ,
   2               2                          
y < 0 时, FY  ( y) = 0 ;                        
当 0 £ y < 1时, FY ( y) = 1 × y + 1 × y = 3 y  
2          
                        1 2 2 4    
当1 £ y < 2 时,                                    
FY  ( y) = 1 + 1 × y = y + 1                
                         
2 2     2   4     2                      
 
y ³ 2 时, FY  ( y) = 1 ,
 
      0, y < 0                          
        3 y                                        
        ,0 £ y < 1                    
                             
FY ( y) =   4                                    
      1                          
        y +   ,1 £ y < 2                
                           
        4     2                              
              ³ 2                          
      1, y                          
            3   ,0 < y < 1                    
                                     
          4                      
                                             
            1                                  
(II) fY  ( y) =       ,1 < y < 2                
4                  
                                             
          0, 其他                    
                                                 
                                                 
EY  1 3x dx + 2 x dx = 3 + 3 = 3          
4                  
  0         1 4 8   8 4            
                                        0, x < 0    
                                                ,其中q > 0 为未知  
(23)(本题满分 11 分)设总体 X 的分布函数 F ( x) = - x 2  
                                              , x ³ 0  
                                        q  
                                        1 - e  
   参数, X 1 , X 2 ,⋯, X n 为来自总体 X 的简单随机样本。
 
(I)求 EX 及 EX 2 。
 
(II)求q 的最大似然估计量qˆ 。
   (III)是否存在实数 a ,使得对任意的e > 0 ,都有 lim P{| qˆ - a |³ e} = 0 ?
 
n®¥
 
【解】

 

 
q
 
 
dt

   -¥   0     q         0      
                  + 1) =                
=         e -t dt =   G( 1 pq      
q   t q      
                   
0             2           2          
                                     
                  x 3     - x 2         x 2  
EX 2  = ∫ x 2  f ( x)dx = 2∫     dx q   
          e  q        
        q   q  
          0         0  

2t
  2        
  - x d ( x 2 ) = qG(2) = q 。  
e q  
  q  
           

(II)似然函数 L(q ) = 2 n x1 x2 ⋯xn -   x12 + x22 +⋯+xn2    
      q      
        q n   e          
                                     
        n               2 2 2    
ln L(q ) = n ln 2 + ∑ln xi - n lnq - x1 + x2 + ⋯+ xn  
      q  
        i =1                          
  d     n   x 2 + x 2  + ⋯+ x 2        
  ln L(q ) = -     + 1   2       n = 0 得    
dq q           q 2            
                                 
                    1 n                  
q 的最大似然估计量为qˆ =  X i2              
               
                    n i =1                  
 
(III)由大数定律得qˆ = 1 ∑n X i2 依概率收敛于 EX 2 = q , n i =1
   故存在 a = q ,使得对任意的e > 0 ,有 lim P{| qˆ - a |³ e} = 0 。
 
n®¥

 启道教育考研辅导班,专注大学硕博考研辅导,直播+录播反复巩固,考点重点快速精讲,知识框架快速复习,多目标通关保障,短期快速提分。更多信息来自启道考研网,加入2017北京大学考研群:172319411,清华大学考研群:416063470,中国人民大学考研群:284107216,联系方式:400-902-7633,我们的公众微信号为上研色shang-yan-se,大家赶紧来分享自己的考研经验!为自己的梦想奋斗吧!
 

分享: